Question

【題目】如圖，邊長一定的正方形ABCD，Q為CD上一個動點，AQ交BD于點M，過M作MN⊥AQ交BC于點N，作NP⊥BD于點P，連接NQ，下列結論：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④ 為定值．其中一定成立的是

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】試題解析：如圖：作AU⊥NQ于U，連接AN，AC，

∵∠AMN=∠ABC=90°，
∴A，B，N，M四點共圓，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴由等角對等邊知，AM=MN，故①正確．
由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，
∴Rt△AHM≌Rt△MPN
∴MP=AH=AC=BD，故②正確，
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
∴三角形ADQ繞點A順時針旋轉90度至ABR，使AD和AB重合，在連接AN，證明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ
則BN=NU，DQ=UQ，
∴點U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正確．

如圖，作MS⊥AB，垂足為S，作MW⊥BC，垂足為W，點M是對角線BD上的點，

∴四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，
∴△AMS≌△NMW，
∴AS=NW，
∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BW：BM=1：，
∴，故④正確．
故選D．