Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB如圖，AB是

⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE．

（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若E是弧AC的中點，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）CD與圓O相切；證明見解析

（2）S陰影=S△DEC=××=．

【解析】

試題分析：（1）CD與圓O相切，理由如下：由AC為角平分線得到一對角相等，利用等角對等邊得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OC與AD平行，進而得到OC與CD垂直，即可得證；

（2）連接EB，交OC于F，利用直徑所對的圓周角為直角，以及切線的性質，得到一對直角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OC與AD平行，由O為AB中點，得到F為BE中點，利用中位線定理求出OF的長，進而利用勾股定理求出EF的長，陰影部分面積等于三角形EDC面積，求出即可．

試題解析：（1）CD與圓O相切，理由如下：

∵AC為∠DAB的平分線，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

則CD與圓O相切；

（2）連接EB，交OC于F，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

∴EB∥CD，

∵CD與⊙O相切，C為切點，

∴OC⊥CD，

∴OC∥AD，

∵點O為AB的中點，

∴OF為△ABE的中位線，

∴OF=AE=，即CF=DE=，

在Rt△OBF中，根據勾股定理得：EF=FB=DC=，

則S陰影=S△DEC=××=．