Question

【題目】拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于點A，B（A在B的左側），與y軸交于點C．
（1）求直線BC的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上存在點P，使∠APB=∠ABC，利用圖1求點P的坐標；

（3）點Q在y軸右側的拋物線上，利用圖2比較∠OCQ與∠OCA的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，

∴B（3，0），C（0，3），

∴可設直線BC的解析式為y=kx+3，

把B點坐標代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（2）

解：∵OB=OC，

∴∠ABC=45°，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線對稱軸為x=1，

設拋物線對稱軸交直線BC于點D，交x軸于點E，當點P在x軸上方時，如圖1，

∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，

∴∠PBA= =67.5°，∠DPB= ∠APB=22.5°，

∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°，

∴∠DPB=∠DBP，

∴DP=DB，

在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2 ，

∴PE=2+2 ，

∴P（1，2+2 ）；

當點P在x軸下方時，由對稱性可知P點坐標為（1，﹣2﹣2 ）；

綜上可知P點坐標為（1，2+2 ）或（1，﹣2﹣2 ）；

（3）

解：設Q（x，﹣x2+2x+3），當點Q在x軸下方時，如圖2，過Q作QF⊥y軸于點F，

當∠OCA=∠OCQ時，則△QEC∽△AOC，

∴ = = ，即 = ，解得x=0（舍去）或x=5，

∴當Q點橫坐標為5時，∠OCA=∠OCQ；

當Q點橫坐標大于5時，則∠OCQ逐漸變小，故∠OCA＞∠OCQ；

當Q點橫坐標小于5且大于0時，則∠OCQ逐漸變大，故∠OCA＜∠OCQ．

【解析】（1）由拋物線解析式可求得B、C的坐標，利用待定系數法可求得直線BC的解析式；（2）由直線BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，設拋物線對稱軸交直線BC于點D，交x軸于點E，結合二次函數的對稱性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，則可求得PE的長，可求得P點坐標；（3）設Q（x，﹣x2+2x+3），當∠OCQ=∠OCA時，利用兩角的正切值相等可得到關于x的方程，可求得Q點的橫坐標，再結合圖形可比較兩角的大小．
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．