Question

【題目】如圖所示，AC⊥AB，，AC=2，點D是以AB為直徑的半圓O 上一動點，DE⊥CD交直線AB于點E，設．

(1)當時，求弧BD的長；

(2)當時，求線段BE的長；

(3)若要使點E在線段BA的延長線上,則的取值范圍是 .(直接寫出答案)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）60°＜α＜90°．

【解析】

（1）首先連接OD，由圓周角定理，可求得∠DOB的度數，又由⊙O的直徑為2，即可求得其半徑，然后由弧長公式，即可求得答案；
（2）首先證得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得=，繼而求得答案；
（3）首先求得A與E重合時α的度數，則可求得點E在線段BA的延長線時，α的取值范圍．

解：（1）

如圖，連接OD，

∵α＝20°，∴∠DOB＝2α＝40°，

∵AB＝2，

∴⊙O的半徑為：，

∴的長為＝；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，∵α＝30°，∴∠B＝60°，∵AC⊥AB，DE⊥CD，

∴∠CAB＝∠CDE＝90°，∴∠CAD＝90°﹣α＝60°，

∴∠CAD＝∠B，∵∠CDA+∠ADE＝∠ADE+∠BDE＝90°，

∴∠CDA＝∠BDE，∴△ACD∽△BED，

∴=，∵AB＝2，α＝30°，

∴BD＝AB＝，∴AD＝＝3，

∴=，∴BE＝；

（3）

如圖，當E與A重合時，

∵AB是直徑，AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴C，D，B共線，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，
∴tan∠ABC==，
∴∠ABC=30°，
∴α=∠DAB=90°-∠ABC=60°，
當E′在BA的延長線上時，如圖，可得∠D′AB＞∠DAB=60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范圍是：60°＜α＜90°．
故答案為：60°＜α＜90°．