Question

【題目】我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“果圓”．如圖，A，B，C，D是“果圓”與坐標軸的交點，點D的坐標為（0，8），且AB=6，點P是以AB為直徑的半圓的圓心，P的坐標為（1，0），連接DB，AD，動點E，F分別從A，O兩點出發，以相同的速度沿x軸正方向運動，當F到達B點時兩點同時停止，過點F作FG∥BD交AD于點G．

（1）求“果圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）在“果圓”上是否存在一點H，使得△DBH為直角三角形？若存在，求出H點的坐標；若不存在，說明理由；

（3）設M，N分別是GE，GF的中點，求在整個運動過程中，MN所掃過的圖形面積．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線解析式為y=﹣x2+2x+8．(2) 滿足條件的點H的坐標為（，）或（﹣，﹣）或（，5+2）或（﹣，5﹣2）．(3) ．

【解析】

試題分析：（1）由題意可設拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），把點D（0，8）代入即可求出a，解決問題．（2）分三種情形討論①D是直角頂點．②B是直角頂點．③H是直角頂點．分別求出點H坐標即可．（3）根據MN所掃過的圖形是平行四邊形，利用平行四邊形的面積公式計算即可．

試題解析：（1）由題意，D（0，8），A（﹣2，0），B（4，0），

設拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），把點D（0，8）代入得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+8．

（2）如圖1中，

①當D為直角頂點時，

∵直線BD解析式為y=﹣2x+8，

∵DH1⊥BD，

∴直線DH1的解析式為y=x+8，

由，解得或，

∴點H1坐標為（，）．

②當B為直角頂點時，直線BH2解析式為y=x﹣2，設H2（m， m﹣2），

由題意PH2=3，

∴（m﹣1）2+（m﹣2）2=9，

整理得到5m2﹣16m﹣16=0，

解得m=﹣或4，

∴點H2坐標為（﹣，﹣）．

③當H為直角頂點時，設H（m，﹣m2+2m+8），BD的中點K（2，4）

由題意HK=BD=2，

∴（m﹣2）2+（﹣m2+2m+4）2=20，

∴m（m﹣4）（m2﹣3）=0，

∴m=0或4或，

∴H3（，5+2），H4的坐標為（﹣，5﹣2）．

綜上所述，滿足條件的點H的坐標為（，）或（﹣，﹣）或（，5+2）或（﹣，5﹣2）．

（3）如圖3中，設M1N1是起始位置，M2N2S 終止位置．

∵M1N1∥AB，M2N2∥AB，

M1N1=E1F1=1，M2N2=E2F2=1，

∴M1N1∥M2N2，M1N1=M2N2，

∴四邊形M1N1N2M2是平行四邊形，作N1G⊥AB于J，N2H⊥AB于H．

∵DN2=BN2，HN2∥OD，

∴OH=BH，

∴HN2=DO=4，

∵∠N1OJ=∠N2BH，∠N1JO=∠N2HB，

∴△N1JO∽△N2HB，

∴，

∴N1J=，

∴MN所掃過的圖形面積就是平行四邊形M1N1N2M2的面積=1×（4﹣）=．