Question

已知：拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的負半軸上，線段OA、OC的長（OA<OC）是方程的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=1。

（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若點D是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點D作DE∥BC交AC于點E，連結CD，設BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵OA、OC的長是x2-5x+4=0的根，OA<OA， ∴OA=1，OC=4， ∵點A在x軸的負半軸，點C在y軸的負半軸， ∴A（-1，0），C（0，-4）， ∵拋物線的對稱軸為x=1， ∴由對稱性可得B點坐標為（3，0）， ∴A、B、C三點坐標分別是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）； （2）∵點C（0，-4）在拋物線圖象上， ∴c=-4， ∴ 將A（-1，0），B（3，0）代入得， 解得， ∴所求拋物線解析式為：； （3）根據題意，BD=m，則AD=4-m， 在Rt△OBC中，BC==5， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 過點E作EF⊥AB于點F，則sin∠EDF=sin∠CBA=， ∴， ∴， ∴S△CDE=S△ADC-S△ADE==， ∵， ∴當m=2時，S有最大值2， ∴點D的坐標為（1，0）。