Question

已知：拋物線與x軸交于A（-1，0）、B兩點，點B在x軸的正半軸上，與y軸交于點C（0，-3），拋物線頂點為M，連接AC并延長AC交拋物線對稱軸于點Q，且點Q到x軸的距離為6．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，求出點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據直線A、C的解析式，即可求出直線AC的解析式；已知直線AC上點Q的縱坐標為-6，根據直線AC的解析式即可求出點Q的橫坐標即拋物線的對稱軸方程；將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，聯立拋物線的對稱軸方程即可求出該拋物線的解析式；
（2）若直線DC與AC垂直，則兩條直線的斜率的乘積為-1，由此可確定直線CD的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出D點的坐標．

解答：解：（1）設直線AC的解析式為：y=kx+b（k≠0），則有：

-k+b=0 b=-3

，
解得

k=-3 b=-3

；
∴直線AC的解析式為：y=-3x-3；
當y=-6時，-3x-3=-6，x=1；
∴Q（1，-6），即拋物線的對稱軸為x=1；
設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+h，依題意，有：

4a+h=0 a+b=-3

，
解得

a=1 h=-4

∴拋物線的解析式為：y=（x-1）²-4；

（2）由（1）知：直線AC的解析式為：y=-3x-3，若直線CD與AC垂直，
則直線CD的解析式為：y=

1

3

x-3，聯立拋物線的解析式有：

y=(x-1)2-4 y= 1 3 x-3

，
解得

x=0 y=-3

，

x= 7 3 y=- 20 9

；
∴D(

7

3

，-

20

9

)．

點評：此題主要考查了一次函數、二次函數解析式的確定，函數圖象交點坐標的求法等知識，需要識記的內容有：如果兩條直線互相垂直，那么它們的斜率的乘積為-1．