Question

【題目】如圖，過矩形ABCD的對角線AC的中點O作EF⊥AC，交BC邊于點E，交AD邊于點F，分別連接AE、CF，若AB＝2，∠DCF＝30°，則EF的長為（　　）

A. 4B. 6C. D. 2

Answer 1

【答案】A

【解析】

求出∠ACB＝∠DAC，然后利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE＝OF，再根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形得到四邊形AECF是菱形，再求出∠ECF＝60°，然后判斷出△CEF是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得EF＝CF，根據矩形的對邊相等可得CD＝AB，然后求出CF，從而得解．

∵矩形對邊AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵O是AC的中點，

∴AO＝CO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE(ASA)，

∴OE＝OF，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形，

∵∠DCF＝30°，

∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF＝CF，

∵AB＝2，

∴CD＝AB＝2，

∵∠DCF＝30°，

∴CF＝=2÷＝4，

∴EF＝4，

故選A．