Question

【題目】如圖，在中，平分交于點，延長至點平分，且的延長線交于點，若．

求證：；

求的度數；

若在圖中繼續作與的平分線交于點，作與的平分線交于點，作與的平分線交于點，以此類推，作與的平分線交于點，請用含有的式了表示的度數(直接寫答案)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠E=10°；（3）∠En+l=∠E．

【解析】

（1）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，得出∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，將第一式代入第二式即可得證；
（2）根據角平分線及三角形外角的性質得出∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+
∠DBC，則∠D=2∠E，再利用上題結論∠DFE=∠A+∠D+∠E，將已知條件代入，即可求出∠E的度數；
（3）先根據角平分線及三角形外角的性質得出∠E1=∠E，同理得出∠E2=∠E1，則∠E2=∠E=∠E，由此得出規律∠En+l=∠E．

（1）證明：∵∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，
∴∠DFE=∠A+∠D+∠E；

（2）解：∵∠DCG=∠D+∠DBC，CE平分∠DCG，
∴∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC=∠DBC，
∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，
∴∠E+∠DBC=（∠D+∠DBC），
∴∠E=∠D，
∴∠D=2∠E．
∵∠DFE=63°，∠A=33°，∠DFE=∠A+∠D+∠E，
∴∠D+∠E=∠DEF-∠A=63°-33°=30°，
∴2∠E+∠E=30°，
∴∠E=10°；

（3）∵∠ECG=∠E+∠EBC，CE1平分∠ECG，
∴∠E1CG=∠ECG=（∠E+∠EBC）．
∵BE1平分∠EBC，
∴∠E1BC=∠EBC．
∵∠E1CG=∠E1+∠E1BC=∠E1+∠EBC，
∴∠E1+∠EBC=（∠E+∠EBC），
∴∠E1=∠E．
同理：∠E2=∠E1，
∴∠E2=∠E=∠E，
∴∠En+l=∠E．