Question

37、如圖①所示，已知直線m∥n，A，B為直線n上的兩點，C，D為直線m上的兩點．
（1）寫出圖中面積相等的各對三角形

△ABC和△ABD，△AOC和△BOD，△CDA和△CDB

；
（2）如果A，B，C為三個定點，點D在m上移動，那么無論D點移動到任何位置，總有

△ABD

與△ABC的面積相等，理由是

平行線間的距離處處相等

；
解決以下問題：如圖②所示，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經過多年開墾荒地，現已變成如圖③所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（即圖中的折線CDE）還保留著．張大爺想過E點修一條直路，使直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾荒地面積一樣多．請你用相關的幾何知識，按張大爺的要求設計出修路方案．（不計分界小路與直路的占地面積）
（3）寫出設計方案，并在圖③中畫出相應的圖形；
（4）說明方案設計的理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式=底乘高除2，可知△ABC和△ABD，△AOC和△BOD，△CDA和△CDB面積相等．
（2）因為平行線間的距離處處相等，所以無論點D在m上移動到何位置，總有△ABD與△ABC同底等高，因此它們的面積相等．
（3）可利用三角形的面積公式和平行線的性質進行設計．這里就要添加輔助線．連接EC，過D作DF∥EC交CM于點F，連接EF然后證明即可．

解答：解：（1）△ABC和△ABD，△AOC和△BOD，△CDA和△CDB．

（2）根據平行線間的距離處處相等，所以無論點D在m上移動到何位置，總有△ABD與△ABC同底等高，因此它們的面積相等．

（3）如圖所示，連接EC，過D作DF∥EC交CM于點F，連接EF，則EF即為所求直線．


（4）設EF交CD于點H，由（1），（2）知S_△ECF=S_△ECD，所以S_△ECF-S_△ECH=S_△ECD-S_△ECH，
所以S_△HCF=S_△EDH，
所以S_{五邊形ABCDE}=S_{四邊形ABFE}，S_{五邊形EDCMN}=S_{四邊形EFMN}．

點評：此題主要考查了三角形的面積公式及平行線間的距離處處相等這一性質．