Question

如圖1所示，已知直線y=kx+m與x軸、y軸分別交于點A、C兩點，拋物線y=-x²+bx+c經過A、C兩點，點B是拋物線與x軸的另一個交點，當x=-時，y取最大值．
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）設點P是直線AC上一點，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求點P的坐標；
（3）直線y=x+a與（1）中所求的拋物線交于點M、N，兩點，問：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
②猜想當∠MON＞90°時，a的取值范圍．（不寫過程，直接寫結論）
（參考公式：在平面直角坐標系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M、N兩點之間的距離為|MN|=）

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據拋物線y=-x²+bx+c，當x=-時，y取最大值，得到拋物線的頂點坐標為（-，），可寫出拋物線的頂點式，再根據拋物線的解析式求出A、C的坐標，然后將A、C的坐標代入
y=kx+m，運用待定系數法即可求出直線的解析式；
（2）根據等高三角形的面積比等于底邊比，因此兩三角形的面積比實際是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的長，然后分情況討論：
①當P在線段AC上時，過點P作PH⊥x軸，點H為垂足．由PH∥OC，根據平行線分線段成比例定理求出PH的長，進而求出P點的坐標；
②當P在CA的延長線上時，由PG∥OC，根據平行線分線段成比例定理求出PG的長，進而求出P點的坐標；
（3）聯立兩函數的解析式，設直線y=x+a與拋物線y=-x²-x+6的交點為M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左側），則x_M、x_N是方程x²+x+a-6=0的兩個根，由一元二次方程根與系數關系得，x_M+x_N=-，x_M•x_N=a-6，進而求出y_M•y_N=（a-6）-a+a²．
①由于∠MON=90°，根據勾股定理得出OM²+ON²=MN²，據此列出關于a的方程，解方程即可求出a的值；
②由于∠MON＞90°，根據勾股定理得出OM²+ON²＜MN²，據此列出關于a的不等式，解不等式即可求出a的范圍．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c，當x=-時，y取最大值，
∴拋物線的解析式是：y=-（x+）²+，即y=-x²-x+6；
當x=0時，y=6，即C點坐標是（0，6），
當y=0時，-x²-x+6=0，解得：x=2或-3，
即A點坐標是（-3，0），B點坐標是（2，0）．
將A（-3，0），C（0，6）代入直線AC的解析式y=kx+m，
得，
解得：，
則直線的解析式是：y=2x+6；

（2）過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴=，
∴AP：PC=1：3，
由勾股定理，得AC==3．
①當點P為線段AC上一點時，過點P作PH⊥x軸，點H為垂足．
∵PH∥OC，
∴==，
∴PH=，
∴=2x+6，
∴x=-，
∴點P（-，）；
②當點P在CA延長線時，作PG⊥x軸，點G為垂足．
∵AP：PC=1：3，
∴AP：AC=1：2．
∵PG∥OC，
∴==，
∴PG=3，
∴-3=2x+6，x=-，
∴點P（-，-3）．
綜上所述，點P的坐標為（-，）或（-，-3）．

（3）設直線y=x+a與拋物線y=-x²-x+6的交點為M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左側）．
則，為方程組的解，
由方程組消去y整理，得：x²+x+a-6=0，
∴x_M、x_N是方程x²+x+a-6=0的兩個根，
∴x_M+x_N=-，x_M•x_N=a-6，
∴y_M•y_N=（x_M+a）（x_N+a）=x_M•x_N+（x_M+x_N）+a²=（a-6）-a+a²．
①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下：
∵∠MON=90°，
∴OM²+ON²=MN²，即+++=（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化簡得x_M•x_N+y_M•y_N=0，
∴（a-6）+（a-6）-a+a²=0，
整理，得2a²+a-15=0，
解得a₁=-3，a₂=，
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值為a=-3或a=；
②∵∠MON＞90°，
∴OM²+ON²＜MN²，即+++＜（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化簡得x_M•x_N+y_M•y_N＜0，
∴（a-6）+（a-6）-a+a²＜0，
整理，得2a²+a-15＜0，
解得-3＜a＜，
∴當∠MON＞90°時，a的取值范圍是-3＜a＜．
點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，三角形的面積，平行線分線段成比例定理，函數與方程的關系，勾股定理，鈍角三角形三邊的關系等知識，綜合性較強，難度較大．運用分類討論、數形結合及方程思想是解題的關鍵．