Question

□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，對角線BD、AC交于點O. 將直線AC繞點O順時針旋轉分別交BC、AD于點E、F. （∠AOF為旋轉角）

（1）試說明在旋轉過程中，AF與CE總保持相等；

（2）證明：當∠AOF=90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能請說明理由；如果能，求出此時AC繞點O順時針旋轉的角度.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠FAO=∠ECO，

∴在△AOF和△COE中，

∠AOF=∠COE(對頂角相等)

∠FAO=∠EOC

AO=CO，

∴△AOF≌△COE，

∴CE=AF；

（2）AC旋轉后的位置如圖所示．

∵∠AOF=∠BAC=90°，

∴AB∥FE，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）①可能．當EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形．

∵△AOF≌△COE（已證）

∴EO=FO，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BO=DO，

又∵EF⊥BD，

∴四邊形BEDF是菱形；

②∵AB=1，BC=

∴AC==2，

∴AO=AC=1，

∴△ABO是等腰直角三角形，∠AOB=45°，

又∵∠BOF=90°，

∴∠AOF=45°，即旋轉角為45°．

【解析】（1）先根據四邊形ABCD是平行四邊形可得出AO=CO，AD∥BC，由全等三角形的判定定理可得出△AOF≌△COE，由全等三角形的性質即可得出結論；

（2）根據平行線的判定定理得出AB∥FE，再根據四邊形ABCD是平行四邊形可得出AD∥BC，進而可判斷出四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）①由△AOF≌△COE可得出EO=FO，再根據四邊形ABCD是平行四邊形可知BO=DO，由于EF⊥BD，所以四邊形BEDF是菱形；

②先根據△ABC是直角三角形，利用勾股定理可得出AC的長，可判斷出△ABO是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質可得出∠AOF=45°，即旋轉角為45°．

【解析】當x=-2時，y₁=-；當x=-1時，y₂==1;當x=1時，y₃=-1．

∴y₂＞y₁＞y₃