Question

【題目】已知：如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間t（s），解答下列各問題：
（1）求△ABC的面積；
（2）當t為何值是，△PBQ是直角三角形？
（3）探究：是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五？如果存在，求出t的值；不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，過點A作AD⊥BC，則∠BAC=30°，

∵AC=4，

∴CD= AC=2，

∴Rt△ACD中，AD= =2 ，

∴△ABC的面積= ×BC×AD= ×4×2 =4

（2）解：設經過t秒，△PBQ是直角三角形，則AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=4cm，∠B=60°，

∴BP=（4﹣t）cm，

若△PBQ是直角三角形，則分兩種情況：

① 當∠BQP=90°時，BQ= BP，

即t= （4﹣t），

解得t= （秒），

②當∠BPQ=90°時，BP= BQ，

4﹣t= t，

解得t= （秒），

綜上所述，當t= 秒或 秒時，△PBQ是直角三角形

（3）解：不存在這樣的t．

理由：如圖，作QD⊥AB于D，則∠BQD=30°，

∴QD= BD= × t= t，

∴△BQP的面積= ×BP×QD

= ×（4﹣t）× t

= t﹣ t2，

當四邊形APQC的面積是△ABC面積的 時，△BQP的面積是△ABC面積的 ，

即 t﹣ t2= ×4 ，

化簡得：t2﹣4t+6=0，

∵△=b2﹣4ac=16﹣4×1×6=﹣8＜0，

∴不存在這樣的t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五．

【解析】（1）過點A作AD⊥BC，根據勾股定理求出AD的長，利用三角形的面積公式進行解答即可；（2）分兩種情況進行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°，然后在直角三角形BQP中根據BP，BQ的長和∠B的度數進行求解即可；（3）先作QD⊥AB于D，根據∠BQD=30°，得到QD= BD= × t= t，然后根據四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五，可得出一個關于t的方程，如果方程無解，則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．
【考點精析】通過靈活運用求根公式和含30度角的直角三角形，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半即可以解答此題．