Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，直徑AB垂直于弦CG，垂足為點H，過點C作ED⊥CG，交⊙O于點E，且∠CBD=∠A，連接BE，交CG于點F．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求證：BC2=BF·BE；

（3）若CG=8，AB=10，求sin E的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）sin E=．

【解析】

（1）利用直徑所對的圓周角是直角，易證得∠ABD=90°，從而證得結論；

（2）利用垂徑定理結合圓周角定理證得∠BCG=∠E，得到△CBF∽△EBC，利用對應邊成比例，即可證明結論；

（3）連接OC，利用垂徑定理求得CH =4，在Rt△OCH中，由勾股定理求得OH的長，在Rt△BCH中，由勾股定理求得BC的長，由于∠E=∠BCG，利用正弦函數即可求解．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠A＋∠CBA=90°．

∵∠CBD=∠A，

∴∠CBA＋∠CBD=90°，即∠ABD=90°，

∴AB⊥BD，

∵OB是⊙O的半徑，

∴BD是⊙O的切線；

（2）證明：∵AB⊥CG，

∴=，

∴∠BCG=∠E，

又∠CBF=∠EBC，

∴△CBF∽△EBC，

∴，

∴BC2=BF·BE；

（3）連接OC．

∵AB=10，CG=8，AB⊥CG，

∴CH=CG=4，OB=OC=AB=5，

在Rt△OCH中，由勾股定理，得OH=，

∴BH=OB-OH=2，

在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC=，

由(2)得∠E=∠BCG，

∴sin E=sin∠BCG=．