Question

【題目】如圖，邊長為4的大正方形ABCD內(nèi)有一個邊長為1的小正方形CEFG，動點(diǎn)P以每秒1cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→E→F→G→B的路線繞多邊形的邊勻速運(yùn)動到點(diǎn)B停止（不含點(diǎn)A和點(diǎn)B）．設(shè)△ABP的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t．

（1）小穎通過認(rèn)真的觀察分析，得出了一個正確的結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動時(shí)，存在著“同底等高”的現(xiàn)象，因此當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動時(shí)△ABP的面積S始終不發(fā)生變化．

問：在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，還存在類似的現(xiàn)象嗎？若存在，請說出P的位置；若不存在，請說明理由．

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中△ABP的面積S是否存在最大值？若存在，請求出最大面積；若不存在，請說明理由．

（3）請寫出S與t之間的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，還存在類似的現(xiàn)象，當(dāng)點(diǎn)P在線段GF上運(yùn)動時(shí)，存在著“同底等高”的現(xiàn)象，當(dāng)點(diǎn)P在線段GF上運(yùn)動時(shí)，△ABP的面積S始終不發(fā)生變化．（2）8；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，S =2t（0＜t≤4），

②當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，S=8（4＜t≤7），

③當(dāng)點(diǎn)P在EF上時(shí)，S=22-2t（7＜t≤8），

④當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，S=6（8＜t≤9），

⑤當(dāng)點(diǎn)P在GB上時(shí)，S=24-2t（9＜t＜12）．

【解析】

（1）根據(jù)GF∥AB，可得當(dāng)點(diǎn)P在線段GF上運(yùn)動時(shí)，存在著“同底等高”的現(xiàn)象，即當(dāng)點(diǎn)P在線段GF上運(yùn)動時(shí)，△ABP的面積S始終不發(fā)生變化．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動時(shí)，AB邊上的高為4，據(jù)此可得△ABP的面積S最大值為：AB×AD=×4×4=8；

（3）分5種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在EF上時(shí)，④當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，⑤當(dāng)點(diǎn)P在GB上時(shí)，分別根據(jù)△ABP的面積計(jì)算方法，得出S與t之間的關(guān)系式．

（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，還存在類似的現(xiàn)象．

∵∠ABG+∠BGF=180°，

∴GF∥AB，

∴當(dāng)點(diǎn)P在線段GF上運(yùn)動時(shí)，存在著“同底等高”的現(xiàn)象，

∴當(dāng)點(diǎn)P在線段GF上運(yùn)動時(shí)，△ABP的面積S始終不發(fā)生變化；

（2）∵△ABP中，AB的長不變，

∴當(dāng)AB邊上的高最大時(shí)，△ABP的面積S存在最大值，

故當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動時(shí)，AB邊上的高為4，

∴△ABP的面積S最大值為：AB×AD=×4×4=8；

（3）分5種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，S=×4×t=2t（0＜t≤4），

②當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，S=×4×4=8（4＜t≤7），

③當(dāng)點(diǎn)P在EF上時(shí)，S=×4×[4-（t-7）]=2（11-t）=22-2t（7＜t≤8），

④當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，S=×4×3=6（8＜t≤9），

⑤當(dāng)點(diǎn)P在GB上時(shí)，S=×4×[4-（t-8）]=2（12-t）=24-2t（9＜t＜12）．