Question

（2013•雅安）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；
（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．
①求S與m的函數關系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象經過的三點，用待定系數法確定二次函數的解析式即可；
（2）根據BC是定值，得到當PB+PC最小時，△PBC的周長最小，根據點的坐標求得相應線段的長即可；
（3）設點E的橫坐標為m，表示出E（m，2m+6），F（m，-m²-2m+3），最后表示出EF的長，從而表示出S于m的函數關系，然后求二次函數的最值即可．

解答：解：（1）由題意可知：

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=3

解得：

a=-1 b=-2 c=3

∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC
∵BC是定值，
∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小，
∵點A、點B關于對稱軸l對稱，
∴連接AC交l于點P，即點P為所求的點
∵AP=BP
∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AC=3

2

，BC=

10

；
故△PBC周長的最小值為3

2

+

10

．

（3）①∵拋物線y=-x²-2x+3頂點D的坐標為（-1，4）
∵A（-3，0）
∴直線AD的解析式為y=2x+6
∵點E的橫坐標為m，
∴E（m，2m+6），F（m，-m²-2m+3）
∴EF=-m²-2m+3-（2m+6）
=-m²-4m-3
∴S=S_△DEF+S_△AEF
=

1

2

EF•GH+

1

2

EF•AG
=

1

2

EF•AH
=

1

2

（-m²-4m-3）×2
=-m²-4m-3；
②S=-m²-4m-3
=-（m+2）²+1；
∴當m=-2時，S最大，最大值為1
此時點E的坐標為（-2，2）．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的最值，根據點的坐標表示出線段的長是表示出三角形的面積的基礎．