Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+b分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點A的坐標為（3，0），過點B的另一條直線交x軸負半軸于點C，且OB：OC＝3：1．

（1）求點B的坐標及直線BC對應的函數表達式；

（2）在線段OB上存在點P，使得點P到點B，C的距離相等，試求出點P的坐標；

（3）如果在x軸上方存在點D，使得以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3），y＝3x+3；（2）P的坐標（0，）；（3）（4，3）或（3，4）．

【解析】

（1）先把A點坐標代入y=-x+b可計算出b=3，即可得到C點坐標，進而得出直線BC的解析式；

（2）設PB=PC=x，根據勾股定理解答即可;

（3）點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，利用長度公式得出點D的坐標.

解：（1）把A （3，0）代入y＝﹣x+b，得 b＝3，

∴B（0，3），

∴OB＝3，

∵OB：OC＝3：1，

∴OC＝1，

∵點C在x軸負半軸上，

∴C（﹣1，0），

設直線BC的解析式為y＝mx+n，

把B（0，3）及C（﹣1，0）代入，得，

解得 ．

∴直線BC的解析式為：y＝3x+3；

（2）由題意，PB＝PC，

設PB＝PC＝x，則OP＝3﹣x，

在Rt△POC中，∠POC＝90°，

∴ ，

∴ ，

解得，x＝，

∴OP＝3﹣x＝，

∴點P的坐標（0，）；

（3）①如圖，當點D在y軸右側時，

點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，則四邊形BDAC為平行四邊形，

則BD＝AC＝1+3＝4，則點D（4，3），

②當點D在y軸左側時，

則S△ABD＝S△ABD′，則點D、D′到AB的距離相等，

則直線DD′∥AB，

設：直線DD′的表達式為：y＝﹣x+n，

將點D的坐標代入上式并解得：n＝7，

直線DD′的表達式為：y＝﹣x+7，

設點D′（n，7﹣n），

A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，

則BD′＝BC＝，

∴n=3或n=1

又∵AD′＝AC＝

∴n=3或n=7

∴n＝3，

故點D′（3，4）；

綜上所述，符合條件的點D的坐標是：（4，3）或（3，4）．