Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過點A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F，則OE=OF．

（1）請證明0E=OF

（2）解答（1）題后，某同學產生了如下猜測：對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB，AG交 EB的延長線于 G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其他條件不變，則仍有OE=OF．問：猜測所得結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當點E在AC的延長線上時，OE=OF仍成立.

【解析】試題分析:(1)根據正方形對角線的性質可得AC⊥BD,∠OAF+∠AFO=90°,

因為AG⊥BE,所以∠EBO+∠BFG=90°,因為∠BFG=∠AFO,所以∠OAF=∠EBO,

因為∠AOF=∠BOE,AO=BO,所以△AOF≌△BOE,所以OE=OF,

（2）根據正方形對角線的性質,可得:AC⊥BD,即可求出∠OAF+∠AFO=90°,

因為AG⊥BE,所以∠BEO+∠EAG=90°,所以∠AFO=∠BEO,因為∠AOF=∠BOE,AO=BO,

所以△AOF≌△BOE,所以OE=OF.

試題解析:（1）證明:∵正方形ABCD中對角線AC、BD相交于O,

∴AC⊥BD,

∴∠OAF+∠AFO=90°,

∵AG⊥BE,

∴∠EBO+∠BFG=90°,

∵∠BFG=∠AFO,

∴∠OAF=∠EBO,

∵∠AOF=∠BOE,AO=BO,

∴△AOF≌△BOE,

∴OE=OF,

（2）解:當點E在AC的延長線上時,OE=OF仍成立,

證明:∵正方形ABCD中對角線AC,BD相交于O,

∴AC⊥BD,

∴∠OAF+∠AFO=90°,

∵AG⊥BE,

∴∠BEO+∠EAG=90°,

∴∠AFO=∠BEO,

∵∠AOF=∠BOE,AO=BO,

∴△AOF≌△BOE,

∴OE=OF.