Question

【題目】矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示，A，C兩點的坐標分別為A(6，0)，C(0，3)，直線與BC邊相交于點D．

(1)求點D的坐標；

(2)若拋物線經過D,A兩點，試確定此拋物線的表達式；

(3)設（2）中拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點P為對稱軸上一動點，以P、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求出符合條件的P點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)D(4,3);(2);(3)P1(3，0), P2(3,-4)

【解析】

（1）已知直線與BC交于點D（x，3），把y＝3代入等式可得點D的坐標；

（2）如圖拋物線y＝ax2＋bx經過D（4，3）、A（6，0）兩點，把已知坐標代入解析式得出a，b的值即可；

（3）證明Rt△P1OM∽Rt△CDO、Rt△P2MO∽Rt△DCO，根據題意再證明Rt△P2P1O≌Rt△DCO后推出CD＝P1P2＝4得出符合條件的P點坐標．

（1）由題知，直線與BC交于點D（x，3）．

把y＝3代入中得，x＝4，

∴D（4，3）；

（2）拋物線y＝ax2＋bx經過D（4，3）、A（6，0）兩點，

把x＝4，y＝3；x＝6，y＝0，分別代入y＝ax2＋bx中，得

解得 ．

∴拋物線的解析式為；

（3）如圖：拋物線的對稱軸與x軸交于點P1，符合條件．

∵CB∥OA，

∴∠P1OM＝∠CDO，

∵∠DCO＝∠OP1M＝90°，

∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO．

∵x＝＝3，

∴該點坐標為P1（3，0）．

過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點P2，

∵對稱軸平行于y軸，

∴∠P2MO＝∠DOC，

∴Rt△P2MO∽Rt△DCO．

在Rt△P2P1O和Rt△DCO中，

，

∴RtP2P1O≌Rt△DCO（AAS）．

∴CD＝P1P2＝4，

∵點P2位于第四象限，

∴P2（3，4）．

因此，符合條件的點有兩個，分別是P1(3，0), P2(3,-4)．