Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC．

（1）延長BA到M，使AM=AD，連接CM，求∠ACM的度數．

（2）如圖2，若CE⊥BD于E，則BD與EC存在怎樣的數量關系？請說明理由.

（3）如圖3，點P是射線BA上A點右邊一動點，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，點Q為∠FCP與∠CPF的角平分線的交點．當點P運動時，點Q是否一定在射線BD上？若在，請證明；若不在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）22.5°；（2）BD=2CE，理由見解析；（3）點Q一定在射線BD上.

【解析】試題分析: （1）通過證明△BDA≌△MCA,得到∠DBA=∠MCA,再根據BD平分∠ABC得∠ABD＝22.5°，得到∠ACM＝22.5°；

(2)延長CE交BA的延長線于點G，通過判定△ABD≌△ACG，得出BD＝CG＝2CE即可；

(3)連接CQ，過點Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，在等腰直角△CPF中，求得∠QCP＝∠QPC＝22.5°，進而得出△PQC中，∠PQC＝135°；在四邊形QNBM中，根據QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC＝45°，得到∠MQN＝135°，進而得到∠NQC＝∠MQP，根據AAS判定△QPM≌△QCN，得出QM＝QN，最后根據角平分線的性質定理的逆定理，得出點Q一定在射線BD上．

試題解析:

（1）∵∠BAC＝90°，

∴∠CAM=90°,

∴∠BAC＝∠CAM，

又∵AB＝AC，AM=AD，

∴△BDA≌△MCA,

∴∠DBA=∠MCA,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD＝22.5°，

∴∠ACM ＝22.5°；

故答案為：22.5°．

（2）如圖，延長CE交BA的延長線于點G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE＝GE，

在△ABD與△ACG中，

，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD＝CG＝2CE；

（3）點Q一定在射線BD上，

理由：如圖，連接CQ，過點Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，

∵QF為∠PFC的角平分線，△CPF為等腰直角三角形，

∴QF為PC的垂直平分線，

∴PQ＝QC，

∵Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點，

∴CQ平分∠FCP，

∵△CPF為等腰直角三角形，

∴∠FCP＝∠FPC＝45°，

∴∠QCP＝∠QPC＝22.5°，

∴△PQC中，∠PQC＝135°，

∵在四邊形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC＝45°，

∴∠MQN＝135°，

∴∠MQN＝∠PQC，

∴∠NQC＝∠MQP，

又∵QC＝QP，QM⊥BP，QN⊥BC，

∴△QPM≌△QCN（AAS），

∴QM＝QN，

又∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴點Q一定在射線BD上．

點睛: 本題主要考查了三角形的綜合應用，解題時需要運用三角形內角和定理、等腰直角三角形的性質、角平分線的定義以及全等三角形的判定與性質等知識．解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，根據全等三角形的性質進行推導．解題時注意：到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．