Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣4x﹣1頂點為D，與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．

（1）求這條拋物線的頂點D的坐標；

（2）經過點（0，4）且與x軸平行的直線與拋物線y=x2﹣4x﹣1相交于M、N兩點（M在N的左側），以MN為直徑作⊙P，過點D作⊙P的切線，切點為E，求點DE的長；

（3）上下平移（2）中的直線MN，以MN為直徑的⊙P能否與x軸相切？如果能夠，求出⊙P的半徑；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點D的坐標為（2，-5）；（2）DE=6；（3）能夠相切，理由見解析.

【解析】

（1）利用配方法即可將函數解析式變形為：y=（x-2）2-5，由頂點式即可求得這條拋物線的頂點D的坐標；

（2）由經過點（0，4）且與x軸平行的直線與拋物線y=x2-4x-1相交于M、N兩點（M在N的左側），即可求得M與N的坐標，即可求得P的坐標，然后即可求得PE與PD的長，根據切線的性質，由勾股定理即可求得DE的長；

（3）根據已知，可得點P的橫坐標為2，又由以MN為直徑的⊙P與x軸相切，可得拋物線過點（2+r，r）或（2+r，-r），將點的坐標代入解析式即可求得r的值，則可證得以MN為直徑的⊙P能與x軸相切．

（1）∵y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=（x-2）2-5，

∴點D的坐標為（2，-5）；

（2）∵當y=4時，x2-4x-1=4，

解得x=-1或x=5，

∴M坐標為（-1，4），點N坐標為（5，4），

∴MN=6．P的半徑為3，點P的坐標為（2，4），

連接PE，則PE⊥DE，

∵PD=9，PE=3，

根據勾股定理得DE=6；

（3）能夠相切．

理由：設⊙P的半徑為r，根據拋物線的對稱性，拋物線過點（2+r，r）或（2+r，-r），

代入拋物線解析式得：（2+r）2-4（2+r）-1=r，

解得r=或r=（舍去），

把（2+r，-r）代入拋物線得：（2+r）2-4（2+r）-1=-r，

解得：r=，或r=（舍去）．