Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點B，弦AC∥OP．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若BC=8，AB=10，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據平行線性質和等腰三角形性質求出∠POC=∠POB，證△PCO≌△PBO，推出∠PCO=∠PBO=90°即可；
（2）根據勾股定理求出AC，證△ACB∽△OBP，推出

BP

BC

=

OB

AC

，代入求出即可．

解答：（1）證明：∵PB切圓O于B，
∴∠PBO=90°，
連接OC，
∵AC∥OP，
∴∠A=∠POB，∠ACO=∠COP，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=∠BOP，
∵CO=BO，OP=OP，
∴△PCO≌△PBO，
∴∠PCO=∠PBO=90°，
∵OC過圓心O，
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：∵AB為圓O的直角，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，BC=8，
∴OB=5，
由勾股定理得：AC=

AB2- BC2

=6，
∵∠ACB=90°=∠PBO，
∵∠A=∠POB，
∴△ACB∽△OBP，
∴

BP

BC

=

OB

AC

，
∴

BP

8

=

5

6

，
解得：BP=

20

3

，
答：BP的長是

20

3

．

點評：本題主要考查對相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，切線的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．