Question

【題目】在四邊形ABCD中，AC、BD交于點E，且∠ACD=∠ADC.

（1）如圖1，若AB=AD，求證：∠BAC=2∠BDC；

（2）如圖2，在（1）的條件下，若∠BDC=30°，求證：BC=AC.

（3）如圖3，若BC＝AD，∠BDC=30°，過A作AE⊥BD于E，過C作CF⊥BD于F， 且EF：BE＝2:11，DF=9，求BD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）BD的長為22.

【解析】試題分析：（1）△ABC和△BCD中，理由三角形內角和定理及等角對等邊進行等量代換即可；（2）先由等角對等邊、等量代換得出△ABC是等腰三角形，再由∠BDC=30°，∠BAC=2∠BDC得出△ABC是等邊三角形，即可得出結果；（3）由已知可得AB=AD,由等腰三角形的性質即可求得.

試題解析：（1）

在△ABC中，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

在△BCD中，∠3+∠4+∠6+∠7=180°，

∴∠1+∠2=∠6+∠7，

∵∠ACD=∠ADC，即∠7=∠5+∠6，

∴∠1+∠2=∠6+∠5+∠6，

∵AB=AD,

∴∠2=∠5,

∴∠1+∠5=∠6+∠5+∠6，

∴∠1=2∠6，

即∠BAC=2∠BDC.

（2）∵∠ACD=∠ADC，

∴AC=AD,

∵AB=AD,

∴AC=AB,

∴△ABC是等腰三角形，

∵∠BDC=30°，

∴∠BAC=2∠BDC=60°，

△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC.

（3）由題可知AB=AD,

∵AE⊥BD,

∴BE=DE.

設EF=2x,BE=11x,

則2x+9=11x,x=1,

∴BD=13+9=22.