Question

【題目】如圖，在四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為OA邊上任意一點（與點O、A不重合），連接CP，過點P作PM⊥CP交AB于點D，且PM=CP，過點M作MN∥AO，交BO于點N，連結ND、BM，設OP=t．

（1）求點M的坐標（用含t的代數式表示）；

（2）試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置的變化而改變？并說明理由．

（3）當t為何值時，四邊形BNDM的面積最小；

（4）在x軸正半軸上存在點Q，使得△QMN是等腰三角形，請直接寫出不少于4個符合條件的點Q的坐標（用含t的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）M（4+t，t）；（2）線段MN長度不變；（3）當t=2時，四邊形BNDM的面積最小，最小值6；（4）Q1（t+2，0），Q2（4+t﹣，0），Q3（4+t+，0）Q4（t+，0）．

【解析】

試題分析：（1）作ME⊥OA于點E，要求點M的坐標只要證明△OPC≌△EM即可，根據題目中的條件可證明兩個三角形全等，從而可以得到點M的坐標；

（2）首先判斷是否變化，然后針對判斷結合題目中的條件說明理由即可解答本題；

（3）要求t為何值時，四邊形BNDM的面積最小，只要用含t的代數式表示出四邊形的面積，然后化為頂點式即可解答本題；

（4）首先寫出符合要求的點Q的坐標，然后根據寫出的點的坐標寫出推導過程即可解答本題．

試題解析：（1）如圖1所示，作ME⊥OA于點E，∴∠MEP=∠POC=90°，∵PM⊥CP，∴∠CPM=90°，∴∠OPC+∠MPE=90°，又∵∠OPC+∠PCO=90°，∴∠MPE=∠PCO，∵PM=CP，∴△MPE≌△PCO（AAS），∴PE=CO=4，ME=PO=t，∴OE=4+t，∴點M的坐標為（4+t，t）；

（2）線段MN長度不變，理由：∵OA=AB=4，∴點B（4，4），∴直線OB的解析式為：y=x，∵點N在直線OB上，∴點N（t，t），∵MN∥OA，M（4+t，t），∴MN=|（4+t）﹣t|=4，即MN的長度不變；

（3）由（1）知，∠MPE=∠PCO，又∵∠DAP=∠POC=90°，∴△DAP∽△POC，∴，∵OP=t，OC=4，∴AP=4﹣t，∴，得AD=，∴BD=4﹣=，∵MN∥OA，AB⊥OA，∴MN⊥BD，∵=MNBD=×4×=，∴當t=2時，四邊形BNDM的面積最小，最小值6；

（4）在x軸正半軸上存在點Q，使得△QMN是等腰三角形，此時點Q的坐標為：Q1（t+2，0），Q2（4+t﹣，0），Q3（4+t+，0）Q4（t+，0）．理由：

當（2）可知，OP=t（0＜t＜4），MN=PE=4，MN∥x軸，第一種情況：當MN為底邊時，作MN的垂直平分線，與x軸的交點為Q1，如圖2所示，PQ1=PE=MN=2，∴OQ1=t+2，∴Q1（t+2，0）；

第二種情況：如圖3所示，當MN為腰時，以M為圓心，MN的長為半徑畫弧交x軸于點Q2、Q3，連接MQ2、MQ3，則MQ2=MQ3=4，∴Q2E==，∴OQ2=OE﹣Q2E=4+t﹣，∴Q2（4+t﹣，0），∵OQ3=OE+Q3E=4+t+，∴Q3（4+t+，0）；

第三種情況，當MN為腰時，以N為圓心，MN長為半徑畫圓弧交x軸于點Q4，當0＜t＜時，如圖4所示，則PQ4===，∴OQ4=OP+PQ4=t+，即Q4（t+，0）．