Question

【題目】已知：拋物線y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+2（m≠0）．

（1）求證：拋物線與x軸有交點；

（2）若拋物線與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），點A在點B的右側，且x1+2x2＝1．

①求m的值；

②點P在拋物線上，點G（n，﹣n﹣），求PG的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①m=1；②PG的最小值=

【解析】

（1）令y=0，再求出的方程的△是否大于等于0即可；

（2）①令y=0，解一元二次方程，再根據已知點A在點B的右側，且，求解即可；②先假設與直線平行的直線l的關系式為,

若直線l與拋物線只有一個交點C,列方程，根據得b的值，則點C到直線的距離就是PG的最小值.

（1）當y=0時，

.

∴拋物線與x軸有交點;

（2）①當y=0時，,

解得或,

∵點A在點B的右側,

∴,

∵，

∴ 當，時,1+2，解得m=1,

此時，，滿足，故m=1符合題意,

當，時,，解得m=2.

此時，，與矛盾，故m=2不符合題意.

∴m=1;

②

當m=1時,拋物線解析式為 ,

∵點G,

∴點G在直線上.

假設與直線平行的直線l的關系式

為,

若直線l與拋物線只有一個交點C,

則此時方程 的,解得b=.

∴直線l的關系式 ,

如圖，直線l與x軸，y軸分別交于D，M兩點，直線

與y軸交于N點，

∴D（，0），M（0，）.

∴OD=，OM=.

∴MN=，

DM== ，

過點M作MH⊥HN，CE⊥EN，當P點與C點重合，G點與E點重合時，PG長最小，

此時△MHN∽△DOM，

∴，即，

∴PG=MH=,

即PG的最小值是 .

故答案為：（1）見解析；（2）①m=1；②PG的最小值=.