Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60º．

（1）求⊙O的直徑；
（2）若D是AB延長線上一點，連結CD，當BD長為多少時，CD與⊙O相切；
（3）若動點E以2cm/s的速度從點A出發沿著AB方向運動，同時動點F以1cm/s的速度從點B出發沿BC方向運動，設運動時間為t(s)(0<t<2)，連結EF，當t為何值時，△BEF為直角三角形．

Answer 1

（1）4cm；（2）2cm；（3）t＝1s或t＝1.6s時

試題分析：（1）先根據圓周角定理可得∠ACB＝90º，再由∠ABC＝60º可得∠BAC＝30º，再根據含30°角的直角三角形的性質即可求得結果；
（2）連結OC，根據切線的性質可得∠OCD＝90º，根據圓周角定理可得∠COD＝60º，從而可得∠D＝30º ，再根據含30°角的直角三角形的性質即可求得結果；
（3）根據題意得BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm，分∠ＥＦＢ＝90º與∠ＦＥＢ＝90º兩種情況結合相似三角形的性質即可求得結果.
（1）∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB＝90º
∵∠ABC＝60º
∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝30º
∴AB＝2BC＝4cm，即⊙O的直徑為4cm；
（2）如圖，連結OC.

∵CD切⊙O于點C，
∴CD⊥CO
∴∠OCD＝90º
∵∠BAC＝30º
∴∠COD＝2∠BAC＝60º.
∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝30º
∴OD＝2OC＝4cm
∴BD＝OD－OB＝4－2＝2cm
∴當BD長為2cm時，CD與⊙O相切；
（3）根據題意，得BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如圖，當∠ＥＦＢ＝90º時，△BEF為直角三角形，
∵∠ＥＦＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B
∴△BEF∽△BAC
∴，即，解得t＝1.

如圖，當∠ＦＥＢ＝90º時，△BEF為直角三角形，
∵∠ＦＥＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCA.
∴，即，解得t＝1.6.
∴當t＝1s或t＝1.6s時，△BEF為直角三角形．
點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學生對圓的性質的熟練掌握情況.