Question

【題目】已知如圖，⊙O的直徑AB與弦AC的夾角∠A=30°，AC=CP．
（1）求證：CP是⊙O的切線；
（2）若AB=4 ，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OC；

∵OA=OC，AC=CP，

∴∠A=∠OCA=30°，∠P=∠A=30°，

∴∠POC=∠A+∠OCA=60°，

∴∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴CP是⊙O的切線

（2）解：∵AB=4 ，

∴OC=OB=2 ，

∴PC= =6

∴S△OCP= OCPC

= ×2 6=6 ，

S扇形OBC= =2π，

∴圖中陰影部分的面積=6 ﹣2π

【解析】（1）如圖，連接OC；運用已知條件證明∠OCP=90°，即可解決問題．（2）分別求出△OCP、扇形OCB的面積，即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和扇形面積計算公式的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能正確解答此題．