Question

【題目】我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．

(1)如圖①，已知格點(小正方形的頂點)O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；

　　

(2)如圖②，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到△DBE，連接AD，DC，∠DCB＝30°，求證：DC2＋BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意得：OA=3，OB=4，∴AB=5，即要使OM=5，如圖點M 即為所求點；（2）如圖②，連接EC，由△ABC≌△DBE可得AC＝DE，BC＝BE，因為∠CBE＝60°，所以EC＝BC，∠BCE＝60又因為∠DCB＝30°，所以∠DCE＝90°，由勾股定理可得DC2＋EC2＝DE2，所以DC2＋BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

試題解析：

證明：(1)如圖①所示，點M即為所求點．

(2)如圖②，連接EC，

∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.

∵∠CBE＝60°，∴EC＝BC，∠BCE＝60.

∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，

∴DC2＋EC2＝DE2，

∴DC2＋BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．