Question

【題目】如圖，一次函數的圖像分別交y軸、x軸交于點A、B，點P從點B出發，沿射線BA以每秒1個單位的速度出發，設點P的運動時間為t秒.

（1）點P在運動過程中，若某一時刻，△OPA的面積為6,求此時P的坐標；

（2）在整個運動過程中，當t為何值時，△AOP為等腰三角形？（只需寫出t的值，無需解答過程）

Answer 1

【答案】（1）（2,4.5），（-2，7.5）；（2）2.8,4,5,16

【解析】試題分析：（1）先求出△OPA的面積為6時BP的長，再求出點P的坐標；（2）分別討論AO=AP，AP=OP和AO=OP三種情況.

解：（1）在y=-x+6中，令x=0，得y=6，令y=0，得x=8，

∴A（0，6），B（8，0），

∴OA=6，OB=8，∴AB=10，

∴AB邊上的高為6×8÷10=，

∵P點的運動時間為t，∴BP=t，則AP=，

當△AOP面積為6時，則有AP×=6，即×=6，解得t=7.5或12.5，

過P作PE⊥x軸，PF⊥y軸，垂足分別為E、F，

則PE==4.5或7.5，BE==6或10，

則點P坐標為（8-6,4.5）或（8-10,7.5），即（2,4.5）或（-2,7.5）；

（2）由題意可知BP=t，AP=，

當△AOP為等腰三角形時，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三種情況．
①當AP=AO時，則有=6，解得t=4或16；

②當AP=OP時，過P作PM⊥AO，垂足為M，如圖1，

則M為AO中點，故P為AB中點，此時t=5；

圖1 圖2

③當AO=OP時，過O作ON⊥AB，垂足為N，過P作PH⊥OB，垂足為H，如圖2，

則AN=AP=（10-t），
∵PH∥AO，∴△AOB∽△PHB，

∴=，即=,∴PH=t，

又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，

∴∠AON=∠PBH，又∠ANO=∠PHB，
∴△ANO∽△PHB，
=，即=，解得t=；

綜上可知當t的值為、4、5和16時，△AOP為等腰三角形．