Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點I是△ABC的內心，延長AI交⊙O于點D，交BC于點E，連接BD．

（1）線段BD與ID相等嗎？證明你的結論．

（2）證明：ID2=DEAD．

Answer 1

【答案】（1）相等，證明見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）連接BI，證∠BIED∠IBD即可；∠IBD=∠4+∠5，∠BID=∠2+∠3；觀察上述兩個式子：I是△ABC的內心，則∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BID=∠IBD，由此得證；（2）由（1）知：ID=BD，即證BE是哪兩條線段的比例中項，可通過找以BD為公共邊的相似三角形；由（1）證得∠5=∠2，易證得△BED∽△ABD，由此可得出所求的結論．

（1）ID=BD，

理由：∵I是△ABC的內心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4；

∵∠BID=∠3+∠2，∠DBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，

∴∠BID=∠DBI；

∴ID=BD；

（2）證明：如圖所示：

∵∠5=∠1，∠1=∠2；

∴∠5=∠2；

又∵∠D=∠D，

∴△BDE∽△ADB；

∴BD：DE=AD：BD；

∴BD2=ADDE；

又∵ID=BD，

∴ID2=ADDE．