Question

【題目】如圖1，四邊形的對角線相交于點，，，，.

（1）填空：與的數量關系為 ；

（2）求的值；

（3）將沿翻折，得到（如圖2），連接，與相交于點.若，求的長.

Answer 1

【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.

【解析】

試題分析：（1）在△ABD中，根據三角形的內角和定理即可得出結論：∠BAD+∠ACB=180°；

（2）如圖1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，設AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解決問題；

（3）如圖2中，作DE∥AB交AC于E．想辦法證明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解決問題；

試題解析：（1）如圖1中，

在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，

∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案為∠BAD+∠ACB=180°．

（2）如圖1中，作DE∥AB交AC于E．

∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，

∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，

∴AB=DE，OA=OE，設AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，

∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，

∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，

∴，∴，

∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，

∴（負根已經舍棄），∴．

（3）如圖2中，作DE∥AB交AC于E．

由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，

∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，

∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，

∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，

∴△PA′D∽△PBC，

∴，

∴，即

∴PC=1．