Question

【題目】如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經過點E，交BC于點F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知cosA= ，⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OE，

∴BE是∠OBC的角平分線，

∴∠OBE=∠CBE，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∵OE是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：連接OF，

∵cosA= ，

∴∠A=30°，

∴∠ABC=∠AOE=60°

∵OB=OF=3，

∴∠FOB=∠ABC=60°，

∴∠EOF=60°，

∴扇形OEF的面積為： = ，

∵OE=3，∠BAC=30°，

∴AO=2OE=6，

∴AB=AO+OB=9，

∴BC= AB=

∴由勾股定理可知：AE=3 ，AC= ，

∴CE=AC﹣AE= ，

∵BF=OB=3，

∴CF=BC﹣BF=

∴梯形OFCE的面積為： = ，

∴陰影部分面積為： ﹣

【解析】（1）連接，根據BE平分∠OBC，OE=OB，可得出OE∥BC，從而可知∠AEO=∠C=90°，根據切線的判定，即可得出AC是⊙O的切線；（2）連接OF，根據條件分別求出OE、CF、CE，∠EOF的數值后，根據面積公式分別計算梯形OFCE與扇形EOF的面積，從而可求出陰影部分的面積．