Question

拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0）點B（3，0），其開口向上，點C是拋物線與y軸的交點，且OC=3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，將拋物線x軸下方的部分沿x軸對折交y軸于點C，若直線y=-x+b與翻折后的曲線的交點數為兩個，求b的取值范圍；
（3）如圖②，過點B作BD⊥x軸，交AC的延長線于點D，設點C的上方有一點P（0，t），且△PAD的面積為15，若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與△PAD總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0）點B（3，0），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），
∵OC=3OA，
∴C點的坐標為（0，-3），
把C的坐標代入y=a（x-1）（x-3），
解得a=1，
∴y=x²-2x-3；
（2）由題意可知翻折后的拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
①當直線過（3，0）時，b=3，當直線過（-1，0）時，b=-1，
∴當-1＜b＜3時，直線y=-x+b與翻折后的曲線的交點數為兩個；
②由得：x2-3x+b-3=0，
∵直線y=-x+b與翻折后的曲線的交點數為兩個，
∴△=9-4（b-3）=0，
∴b=，
綜上可知以及結合圖形可知當-1＜b＜3時或b＞時，直線和曲線有兩個交點；

（3）設直線AC的解析式為：y=kx+b，
則，
解得，
∴y=-3x-3，
當x=3時，y=-12，
∴D（3，-12）
∴（t+3）×4=15，
∴t=，
即P的坐標為（0，），
設平移后的拋物線解析式為y=（x-1）²+m，
則當拋物線過點P時，=（0-1）²+m，
解得m=，此時拋物線向上平移了個單位，
當拋物線過D點時，-9=（-3+1）²+m，
解得m=-13，
又因為-12=（3-1）²+m，解得m=-16，此時拋物線向下平移了12個單位，
綜上可知拋物線最多向上平移個單位，向下最多平移12個單位．
分析：（1）因為拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0）點B（3，0），所以可設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），由條件OC=3OA可知C的坐標為（0，-3），代入解析式y=a（x-1）（x-3）求出a的值即可；
（2）首先求出翻折后的拋物線的解析式，若直線y=-x+b與翻折后的曲線的交點數為兩個則當直線介于A，B之間可求出b的范圍或聯立兩個解析式組成的方程組有解也可以求出b的取值范圍；
（3）設直線AC的解析式為：y=kx+b，把A，C點的坐標分別代入求出直線的解析式，進而求出P點的坐標，若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與△PAD總有公共點，則可求出向上和向下時的m的最值即可．
點評：本題考查了用待定系數法求出二次函數和一次函數的解析式，一次函數和二次函數交點的個數以及二次函數的平移，題目的綜合性不小，難度中等．