Question

【題目】如圖，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC為直徑的半圓交AB于點D，O是該半圓所在圓的圓心，E為線段AC上一點，且ED=EA.

（1）求證：ED是⊙O的切線；

（2）若，∠A=30°，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為2.

【解析】

（1） 連接OD．通過證明∠ODE=90°，易證得結論；

（2） 由（1）得ED是⊙O的切線；由題意得AC是⊙O的切線，可得ED=EC=EA,又由∠A=30°，在Rt△ABC中，解直角三角形可得BC長，然后半徑可得.

（1）證明：連接OD.

∵ ED=EA,

∴ ∠A=∠ADE.

∵ OB=OD,

∴ ∠OBD=∠BDO.

∵ ∠ACB=90°,

∴ ∠A +∠ABC =90°.

∴ ∠ADE +∠BDO =90°.

∴ ∠ODE=90°.

∴ DE是⊙O的切線.

（2）解：∵ ∠ACB =90°, BC為直徑,

∴ AC是⊙O的切線.

∵ DE是⊙O的切線,

∴ ED=EC.

∵ ED=,

∴ ED=EC=EA=.

∴ AC=.

∵ Rt△ABC中∠A=30°,

∴ BC=4.

∴ ⊙O的半徑為2.