Question

如圖，PAB為⊙O的割線，P0交⊙O于點C，OP=13，PA=9，AB=7，求⊙O直徑的長．

Answer 1

分析：延長PO到E，延長線與圓O交于點E，連接EB，AC．根據四邊形ACEB為圓O的內接四邊形，利用圓內接四邊形的外角等于它的內對角得到一對角相等，再由公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出△ACP與△EBP相似，由相似三角形的對應邊成比例可以求得該圓的直徑．

解答：解：延長PO到E，延長線與圓O交于點E，連接EB，AC．
∵PA=9，AB=7，
∴PB=16．
∵四邊形ACEB為圓O的內接四邊形，
∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴

PC

PB

=

PA

PE

，即

PO-OC

16

=

9

PO+OC

，
∴

13-OC

16

=

9

13+OC

，
解得：OC=5或x=-5 （舍去），
則EC=2OC=10，即⊙O直徑的長是10．

點評：此題考查了圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，利用了轉化及方程的思想，其中作出如圖所示的輔助線是解本題的關鍵．