Question

長方形ABCD中，AB=1，AD=，以點B為圓心，BA長為半徑作圓交BC于點E．在AE上找一點P，使過點P的⊙B的切線平分長方形的面積．設此切線交AD于點S，交BC于點T，則ST的長為________．

Answer 1

分析：連接BD，由AB=1，AD=，得到BD=2，則BD與弧AE的交點為BD的中點，即為P點，過P作⊙B的切線平分長方形，則BD⊥ST，且PT=PS，而PT=BP=，得到ST=．
解答：連接BD，∵AB=1，AD=，
∴BD=2，
而AB=1，
∴BD與弧AE的交點為BD的中點，即為P點，過P作⊙B的切線平分長方形，如圖，

∴BD⊥ST，且PT=PS，
∵PT=BP=，
∴ST=．
故答案為：．
點評：本題考查了切線的性質：圓心與切點的連線垂直切線；過圓心垂直于切線的直線必過切點；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等．也考查了長方形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系．