Question

【題目】已知直線 y＝kx＋b(k≠0)過點 F(0，1)，與拋物線 相交于B、C 兩點

(1)如圖 1，當點 C 的橫坐標為 1 時，求直線 BC 的解析式；

(2)在(1)的條件下，點 M 是直線 BC 上一動點，過點 M 作 y 軸的平行線，與拋物線交于點 D， 是否存在這樣的點 M，使得以 M、D、O、F 為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖 2，設 B(m，n)(m＜0)，過點 E(0，－1)的直線 l∥x 軸，BR⊥l 于 R，CS⊥l 于 S，連接 FR、FS.試判斷△ RFS 的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；M點坐標為：（-3，），，；（3）△RFS是直角三角形；證明見詳解.

【解析】

（1）首先求出C的坐標，然后由C、F兩點用待定系數法求解析式即可；

（2）因為DM∥OF，要使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，則DM=OF，設M（x，），則D（x，x2），表示出DM，分類討論列方程求解；

（3）根據勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．

解：（1）因為點C在拋物線上，所以C（1，），

又∵直線BC過C、F兩點，

故得方程組：

解之，得，

所以直線BC的解析式為：；

（2）存在；理由如下：

要使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，則MD=OF，如圖1所示，

設M（x，），則D（x，x2），

∵MD∥y軸，

∴，

由MD=OF，可得：；

①當時，

解得：x1=0（舍）或x1=-3，

所以M（-3，）；

②當時，

解得：，

所以M或M，

綜上所述，存在這樣的點M，使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形，

M點坐標為：（-3，），，；

（3）△RFS是直角三角形；理由如下：

過點F作FT⊥BR于點T，如圖2所示，

∵點B（m，n）在拋物線上，

∴m2=4n，

在Rt△BTF中，

，

∵n＞0，

∴BF=n+1，

又∵BR=n+1，

∴BF=BR．

∴∠BRF=∠BFR，

又∵BR⊥l，EF⊥l，

∴BR∥EF，

∴∠BRF=∠RFE，

∴∠RFE=∠BFR，

同理可得∠EFS=∠CFS，

∴∠RFS=∠BFC=90°，

∴△RFS是直角三角形．