Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），直線l與拋物線交于A，C兩點，其中點C的橫坐標為2．

（1）求A，B兩點的坐標及直線AC的函數表達式；

（2）P是線段AC上的一個動點（P與A，C不重合），過P點作y軸的平行線交拋物線于點E，求△ACE面積的最大值；

（3）若直線PE為拋物線的對稱軸，拋物線與y軸交于點D，直線AC與y軸交于點Q，點M為直線PE上一動點，則在x軸上是否存在一點N，使四邊形DMNQ的周長最小？若存在，求出這個最小值及點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）點H是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、H四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣1；（2）△ACE的面積最大值為；（3）M（1，﹣1），N（，0）；（4）滿足條件的F點坐標為F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．

【解析】

（1）令拋物線y=x2-2x-3=0，求出x的值，即可求A，B兩點的坐標，根據兩點式求出直線AC的函數表達式；
（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），求出P、E的坐標，用x表示出線段PE的長，求出PE的最大值，進而求出△ACE的面積最大值；
（3）根據D點關于PE的對稱點為點C（2，-3），點Q（0，-1）點關于x軸的對稱點為M（0，1），則四邊形DMNQ的周長最小，求出直線CM的解析式為y=-2x+1，進而求出最小值和點M，N的坐標；
（4）結合圖形，分兩類進行討論，①CF平行x軸，如圖1，此時可以求出F點兩個坐標；②CF不平行x軸，如題中的圖2，此時可以求出F點的兩個坐標．

（1）令y=0，解得或x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

將C點的橫坐標x=2代入y=x2﹣2x﹣3得

∴C（2，-3），

∴直線AC的函數解析式是

（2）設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），

則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），

∵P點在E點的上方，

∴當時，PE的最大值

△ACE的面積最大值

（3）D點關于PE的對稱點為點C（2，﹣3），點Q（0，﹣1）點關于x軸的對稱點為K（0，1），

連接CK交直線PE于M點，交x軸于N點，可求直線CK的解析式為，此時四邊形DMNQ的周長最小，

最小值

求得M（1，﹣1），

（4）存在如圖1，若AF∥CH，此時的D和H點重合，CD=2，則AF=2，

于是可得F1（1，0），F2（﹣3，0），

如圖2，根據點A和F的坐標中點和點C和點H的坐標中點相同，

再根據|HA|=|CF|，

求出

綜上所述，滿足條件的F點坐標為F1（1，0），F2（﹣3，0），，．