Question

（本小題滿分11分）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以點B為圓心，以1為半徑作圓． 設點P為⊙B上一點，線段CP繞著點C順時針旋轉90°，得到線段CD，連接DA，ＰD，PB，

（1）求證：AD=BP；

（2）若DP與⊙B相切，則∠CPB的度數為_________°；

（3）如圖2，當B，P，D三點在同一直線上時，求BD的長；

（4）BD的最小值為________，此時tan∠CBP=_________；BD的最大值為 ，此時tan∠CPB=_________．

Answer 1

（1）見解析；（2）45°或135°；（3）；（4）1，1；3， ．

【解析】

試題分析：（1）根據∠ACB=∠DCP=90°得出∠ACD=∠BCP，根據AC=BC，CD=CP得出△ACD≌△BCP說明結論；（2）根據切線的性質得出∠CPB的度數；（3）根據等腰直角三角形得出∠CDP=∠CPD=45°，CPB=135°，由（1）知∠CDA=∠CPB=135°，AD=BP=1 ，則∠BDA＝∠CDA－∠CDP＝90°，根據Rt△ABC的勾股定理求出AB，根據Rt△ABD的勾股定理求出BD的長度；（4）根據圓的性質和三角形的性質求出最大值和最小值．

試題解析：（1）證明：∵∠ACB=90°, ∠DCP=90°，∴∠ACD=∠BCP ∵AC=BC,CD=CP，

∴△ACD≌△BCP（SAS） ∴AD=BP

（2）∠CPB=45°或135°

（3）∵△CDP為等腰直角三角形， ∴∠CDP=∠CPD=45°，則∠CPB=135°。

由（1）可知，△ACD≌△BCP ∴∠CDA=∠CPB=135° AD=BP=1 ∴∠BDA＝∠CDA－∠CDP＝90°

在Rt△ABC中，AB==2 ∴BD==

（4）1，1；3， ．

考點：圓的基本性質、三角形全等的判定、勾股定理．

考點分析： 考點1：圓 圓，圓的有關性質與圓的有關計算是近幾年各地中考命題的重點內容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開放，結論開放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察內容：①圓的有關性質的應用。垂徑定理是重點。② 直線和圓，圓和圓的位置關系的判定及應用。③弧長，扇形面積，圓柱，圓錐的側面積和全面積的計算④圓與相似三角形，三角函數的綜合運用以及有關的開放題，探索題。突破方法：①熟練掌握圓的有關行政，掌握求線段，角的方法，理解概念之間的相互聯系和知識之間的相互轉化。②理解直線和原的三種位置關系，掌握切線的性質和判定的歌，會根據條件解決圓中的動態問題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關系來盤底的那個兩個圓的位置關系，對中考試題中常出現的閱讀理解題，探索題，要靈活運用圓的有關性質，進行合理推理與計算。④掌握弧長，扇形面積計算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側面展開圖⑥對組合圖形 的計算要靈活運用計算方法解題。 試題屬性

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