Question

已知：雙曲線（t為常數，t≠0）經過點M（一2，2）；它關于y軸對稱的雙曲線為C₂，直線l₁：y=kx+b（k、b為常數，k≠0）與雙曲線C₂的交點分別為A（1，m），B（n，-1）．
（1）求雙曲線C₂的解析式；
（2）求A、B兩點的坐標及直線l₁的解析式；
（3）若將直線l₁平移后得到的直線l₂與雙曲線C₂的交點分別記為C、D（A和D，B和C分別在雙曲線C₂的同一支上），四邊形ABCD恰好為矩形，請直接寫出直線CD的解析式．

Answer 1

解：（1）如圖，∵點M（-2，2）關于y軸對稱點為M′（2，2），
∴雙曲線C₂的解析式為y=；

（2）∵A（1，m），B（n，-1）兩點在雙曲線C₂上，
∴m=4，n=-4，
∴A、B兩點坐標分別為A（1，4），B（-4，-1），
∵A（1，4），B（-4，-1）兩點在直線l₁：y=kx+b上，
∴，
解得，
∴直線l₁的解析式為y=x+3；

（3）直線CD的解析式為y=x-3．
分析：（1）將點M（-2，2）關于y軸對稱點M′（2，2），代入雙曲線解析式y=中，求k，確定雙曲線C₂的解析式；
（2）將A（1，m），B（n，-1）兩點在雙曲線C₂：y=中，可求m、n的值，再將A、B兩點坐標代入直線l₁：y=kx+b中，可求直線l₁的解析式；
（3）直線l₁與y軸交于（0，3），根據雙曲線的軸對稱性可知，平移后的直線與y軸交于點（0，-3），而一次項系數不變，由此寫出直線CD的解析式．
點評：本題考查了反比例函數的綜合運用．注意通過解方程組求出交點坐標．同時要注意運用數形結合的思想．