Question

如圖，已知雙曲線（k為常數）與直線l相交于A、B兩點，第一象限內的點M（點M在A的左側）是雙曲線上的一動點，設直線AM、BM分別與y軸交于P、Q兩點．
（1）若直線l的解析式為，A點的坐標為（a，1），
①求a、k的值；②當AM=2MP時，求點P的坐標．
（2）若AM=m•MP，BM=n•MQ，求m-n的值．

Answer 1

解：（1）①∵A（a，1）在直線上，
∴，
解得a=6
∵A（6，1）在雙曲線上，
∴，
解得k=9

②如圖，過點A作AE⊥y軸于E，過點M作MF⊥y軸于F，
則MF∥AE，
則△PMF∽△PAE，
則，即，
解得MF=2
則M_x=2，則，
則點M（2，3）
∵A（6，1）、M（2，3），
∴直線AM的解析式為．
∴點P（0，4）


（2）如圖，設點A的橫坐標為b，點M的橫坐標為t，則點B的橫坐標為-b；
過點B作BC⊥y軸于C，過點M作MD⊥AE于D，
∵MD∥y軸，
∴△AMD∽△APE，
∴，即，得①
∵MF∥BC，
∴△MFQ∽△BCQ，
∴，即，得
∴

分析：（1）①由A（a，1）在直線上，得，解得a=6，然后根據A（6，1）在雙曲線上解得k=9；
②過點A作AE⊥y軸于E，過點M作MF⊥y軸于F得到MF∥AE后即可證明△PMF∽△PAE，利用相似三角形對應線段的比相等得到MF=2，從而得到點M（2，3），利用待定系數法求得直線AM的解析式即可；
（2）如圖，設點A的橫坐標為b，點M的橫坐標為t，則點B的橫坐標為-b；過點B作BC⊥y軸于C，過點M作MD⊥AE于D，根據MD∥y軸得到△AMD∽△APE根據相似三角形對應線段的比相等用b、t表示出m和n，從而求得m-n的值．
點評：此題綜合考查了反比例函數，正比例函數等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．