Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上的一點，AE⊥DC交DC的延長線于E，交⊙O于點F，且
（1）試判斷DE與⊙O的位置關系并加以證明；
（2）若，AE=4，求∠BCD的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）DE是⊙O的切線，連接OC，根據題意得∠1=∠2，∠3=∠2，則∠3=∠1，從而得出OC∥AE，根據AE⊥DE得出OC⊥DE，則DE是⊙O的切線；
（2）由OC∥AE，得，設OC=t，代入即可得出t的值，即可求出CO，AB，再由切割線定理得出CD，則可證明△DBC∽△DCA，得出比例式BC：AC，根據∠BCD=∠2
即可得出∠BCD的正切值．
解答： （1）DE是⊙O的切線（1分）
證明：連接OC（如圖）
∵，∴∠1=∠2（2分）
∵⊙O是△ABC的外接圓
∴點C在圓上
∴OC=OA
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴OC∥AE（3分）
∵AE⊥DE，∴∠AED=90°
∴∠OCD=90°
∴OC⊥DC，即OC⊥DE
∴DE是⊙O的切線（4分）

（2）解：在△ADE中，由（1）知OC∥AE
∴
設OC=t
∵
∴
整理，得6t²-7t-20=0
解得
經檢驗t₁，t₂均為原方程的解，由于線段長為非負，故舍去負值．
得（5分）
∴AB=5
∵DC切⊙O于點C，DBA是⊙O的割線
∴
∴（6分）
∵∠BCD=∠2，∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA
∴（7分）
由已知AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°，∴
∴（8分）
點評：本題是一道綜合題目，考查了切線的判定和性質、相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例，解直角三角形，是中考壓軸題．