Question

在△ABC中，AD是中線，O為AD的中點，直線a過點O，過A、B、C三點分別作直線a的垂線，垂足分別為G、E、F，當直線a繞點O旋轉到與AD垂直時（如圖1），易證：BE+CF=2AG，
當直線a繞點O旋轉到與AD不垂直時，在圖2、圖3兩種情況下，線段BE、CF、AG又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并對圖3的猜想給予證明．

Answer 1

（1）解：猜想結果：圖2結論為BE+CF=2AG，
圖3結論為BE-CF=2AG．

（2）證明：連接CE，過D作DQ⊥l，垂足為Q，交CE于H（圖4），
∵∠AGO=∠DQO=90°，∠AOG=∠DOQ（對頂角相等），且O為AD的中點即AO=DO，
∴△AOG≌△DOQ（AAS），即AG=DQ，
∵BE∥DH∥FC，BD=DC，
∴CH：EH=CD：BD=FQ：EQ，
∴QH是三角形EFC的中位線，
∴BE=2DH，CF=2QH，
∴BE-CF=2（DQ+QH）-2QH=2DQ=2AG．
分析：（1）據圖片可做猜測圖2為BE+CF=2AG，圖3為BE-CF=2AG；
（2）證明圖3中BE-CF=2AG，可以連接CE，過D作DQ⊥l，垂足為Q，交CE于H，根據∠AGO=∠DQO=90°，∠AOG=∠DOQ（對頂角相等），且O為AD的中點即AO=DO，所以△AOG≌△DOQ，得到AG=DQ；又因為BE∥DH∥FC，AD是中線，可得BE=2DH，CF=2QH，所以BE-CF=2（DQ+QH）-2QH=2DQ=2AG．
點評：本題主要考查全等三角形的判定，涉及到中位線的性質、平行線的性質，垂線的性質等知識點，正解畫出輔助線是解題的關鍵．