Question

【題目】如圖所示，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，OE∥BD，交BC于點F，交AB于點E．
（1）求證：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半徑為3，AD=2，試求AE的長；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1：連接OB．

∵CD為圓O的直徑，

∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°．

∵AE是圓O的切線，

∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°．

∴∠ABD=∠CBO．

∵OB=OC，

∴∠C=∠CBO．

∴∠C=∠ABD．

∵OE∥BD，

∴∠E=∠ABD．

∴∠E=∠C

（2）解：∵⊙O的半徑為3，AD=2，

∴AO=5，∴AB=4．

∵BD∥OE，

∴BE=OD，

∴BE=3，

∴BE=6，AE=6+4=10

（3）解：∵S△AOE= AEOB=15，

∵∠C=∠E，∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴ =（ ）2= ，

∴S△ABC=15× =

【解析】（1）連接OB．先證明∠ABO、∠CBD均為直角，然后依據同角的余角相等證明∠ABD=∠CBO，接下來，結合等腰三角形的性質和平行線的性質進行證明即可；（2）連接OB，先求得AB的長，然后由平行線分線段成比例定理求得BE的長，最后再△BOE中依據勾股定理可求得OE的長；（3）根據相似三角形的性質即可得到結論．