Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx過點A（1，4）、B（﹣3，0），過點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，在x軸上有一點D（4，0），連接CD．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若在拋物線上存在點Q，使得CD平分∠ACQ，請求出點Q的坐標；

（3）在直線CD的下方的拋物線上取一點N，過點N作NG∥y軸交CD于點G，以NG為直徑畫圓在直線CD上截得弦GH，問弦GH的最大值是多少？

（4）一動點P從C點出發，以每秒1個單位長度的速度沿C﹣A﹣D運動，在線段CD上還有一動點M，問是否存在某一時刻使PM+AM=4？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線CE的表達式為y=﹣x﹣；（2）點Q的坐標為（﹣，﹣）；（3）弦GH的最大值；（4）存在，t的值為3或7

【解析】

（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征求出點C的坐標，結合點A、D的坐標可得出AC、AD的長，取點E（﹣1，0），連接CE交拋物線于點Q，則四邊形ACED為菱形，由點C、E的坐標，利用待定系數法可求出直線CE的表達式，聯立直線CE與拋物線表達式成方程組，通過解方程組即可求出點Q的坐標；

（3）由點C、D的坐標，利用待定系數法可求出直線CD的表達式，設點N的坐標為（x，x2+3x），則點G的坐標為（x，﹣x+2），進而可得出NG=﹣x2﹣x+2，利用二次函數的性質可求出NG的最大值，以NG為直徑畫⊙O′，取GH的中點F，連接O′F，則O′F⊥BC，通過解直角三角形可得出GH=NG，代入NG的最大值即可求出弦GH的最大值；

（4）取點E（﹣1，0），連接CE、AE，過點E作EP1⊥AC于點P1，交CD于點M1，過點E作EP2⊥AD于點P2，交CD于點M2，由AC∥x軸及點A的坐標可得出EP1=4，由菱形的對稱性可得出EP2=4，根據點C和點E的坐標可得出CP1、DP2的長度，再結合AC、AD的長即可求出t的值，此題得解．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx過點A（1，4）、B（﹣3，0），

∴ ，解得：a=1,b=3,

∴拋物線的表達式為y=x2+3x．

（2）當y=4時，有x2+3x=4，

解得：x1=﹣4，x2=1，

∴點C的坐標為（﹣4，4），

∴AC=1﹣（﹣4）=5．

∵A（1，4），D（4，0），

∴AD=5．

取點E（﹣1，0），連接CE交拋物線于點Q，如圖1所示．

∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC∥DE，

∴四邊形ACED為平行四邊形，

∵AC=AD，

∴四邊形ACED為菱形，

∴CD平分∠ACQ．

設直線CE的表達式為y=mx+n（m≠0），

將C（﹣4，4）、E（﹣1，0）代入y=mx+n，得：

，解得：，

∴直線CE的表達式為y=﹣x﹣．

聯立直線CE與拋物線表達式成方程組，得： ，

解得： ，

∴點Q的坐標為（﹣，﹣）．

（3）設直線CD的表達式為y=kx+c（k≠0），

將C（﹣4，4）、D（4，0）代入y=kx+c，得：

，解得： ，

∴直線CD的表達式為y=﹣x+2．

設點N的坐標為（x，x2+3x），則點G的坐標為（x，﹣x+2），

∴NG=﹣x+2﹣（x2+3x）=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+，

∵﹣1＜0，

∴當x=﹣時，NG取最大值，最大值為．

以NG為直徑畫⊙O′，取GH的中點F，連接O′F，則O′F⊥BC，如圖2所示．

∵直線CD的表達式為y=﹣x+2，NG∥y軸，O′F⊥BC，

∴tan∠GO′F==，

∴，

∴GH=2GF= O′G=NG，

∴弦GH的最大值為×=．

（4）取點E（﹣1，0），連接CE、AE，過點E作EP1⊥AC于點P1，交CD于點M1，過點E作EP2⊥AD于點P2，交CD于點M2，如圖3所示．

∵四邊形ACED為菱形，

∴點A、E關于CD對稱，

∴AM=EM．

∵AC∥x軸，點A的坐標為（1，4），

∴EP1=4．

由菱形的對稱性可知EP2=4．

∵點E的坐標為（﹣1，0），

∴點P1的坐標為（﹣1，4），

∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，

又∵AC=AD=5，

∴t的值為3或7．