Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，AE⊥EF．有下列結論：①∠BAE＝30°；②射線FE是∠AFC的角平分線；③AE2＝ADAF；④AF＝AB+CF．其中正確結論為是______．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①根據題目中的條件和正方形的性質，利用銳角三角函數可以得到∠BAE是否等于30°；

②根據題目中的條件，可以求得∠AEB和∠CFE的正切值，從而可以得到射線FE是否為∠AFC的角平分線；

③由題中條件可得△CEF∽△BAE，進而得出對應線段成比例，進而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出題中結論；

④根據題目中的條件和全等三角形的判定與性質，可以得到AF＝AB＋CF是否成立．

解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中點，∠B＝∠C＝90°，

∴AB＝BC，BE＝AB，

∴tan∠BAE＝＝，

∵tan30°＝，

∴∠BAE≠30°，故①錯誤；

∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，

∴∠BAE＋∠BEA＝90°，∠BEA＋∠CEF＝90°，∠CFE＋∠CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，∠BEA＝∠CFE，

∴△ABE∽△ECF，

∴

∵AB＝2BE＝2CE，

∴EC＝2CF，

設CF＝a，則EC＝BE＝2a，AB＝4a，

∴在Rt△ABE中，AE＝a，

在Rt△CEF中，EF＝a，tan∠CFE＝2，

∴tan∠AFE＝＝2，

∴∠AFE＝∠CFE，

即射線FE是∠AFC的角平分線，故②正確；

∵∠AFE＝∠CFE，∠AEF＝∠C，

∴∠EAF＝∠CEF，

∵∠BAE＝∠CEF，

∴∠BAE＝∠EAF，

∴△ABE∽△AEF，

∴，

∴AE2＝ABAF，

∵AD＝AB，

∴AE2＝ADAF，故③正確；

作EG⊥AF于點G，

∵FE平分∠AFC，∠C＝90°，

∴EG＝EC，

∴EG＝EB，

∵∠B＝∠AGE＝90°，

在Rt△ABE和Rt△AGE中

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）

∴AB＝AG，

又∵CF＝GF，AF＝AG＋GF，

∴AF＝AB＋CF，故④正確，

由上可得，②③④正確，

故答案為：②③④．