Question

【題目】已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) B(m，0)、A(n，0)分別是 x 軸軸上兩點(diǎn)， 且滿足多項(xiàng)式(x2＋mx＋8)(x2－3x＋n)的積中不含 x3項(xiàng)和 x2項(xiàng)，點(diǎn) P(0，h)是 y 軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)

（1）求三角形△ABP 的面積（用含 h 的代數(shù)式表示）

（2）過點(diǎn) P 作 DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP

① 連接 AD、BC 相交于點(diǎn) E，再連 PE，求∠BEP 的度數(shù)

② 連 CD 與 y 軸相交于點(diǎn) Q，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P 在 y 軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段 PQ 的長(zhǎng)度變不變？如果不變，請(qǐng)求出其值；如果變化，請(qǐng)求出其變化范圍

Answer 1

【答案】(1) m=3，n=1; =h;(2) ∠BEP=135;(3)PQ=1.

【解析】

（1）由多項(xiàng)式(x2＋mx＋8)(x2－3x＋n)的積中不含 x3項(xiàng)和 x2項(xiàng)，可求得m、n的值，可求得三角形△ABP 的面積；

(2)①又DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP,可證△BPC≌△DPA，可得∠C=∠A，在CB的線段上取F點(diǎn)，使得CF=AE，連接PF，可得△CPF≌△APE，可得PF=PE, ∠CPF= ∠APE，可得△PEF為等腰直角三角形，可求出∠BEP 的度數(shù)；

②由DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），P點(diǎn)坐標(biāo)（0，h），由旋轉(zhuǎn)的特性，可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（-h，h-1），D點(diǎn)坐標(biāo)（h，h+3），

可得CD的解析式，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)及PQ的長(zhǎng).

解：(1) 多項(xiàng)式(x2＋mx＋8)(x2－3x＋n)的積中不含 x3項(xiàng)和 x2項(xiàng),

展開得：

=

m-3=0，=0，

解得：m=3，n=1，

=ABOP= 2h=h；

（2）①如圖：

由題意得：DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP,

又∠APB=∠APB, ∠APC+∠APB=∠BPD+∠APB

∠APC=∠BPD,

在△BPC與△DPA中，

PD＝PB，PC＝AP，∠APC=∠BPD

△BPC≌△DPA，∠C=∠A

在CB的線段上取F點(diǎn)，使得CF=AE，連接PF,

在△CPF與△APE中，

∠C=∠A，CF=AE，PC＝AP，

△CPF≌△APE，PF=PE, ∠CPF= ∠APE,

∠FPE=90，又PF=PE，

△PEF為等腰直角三角形，

∠PEF=45，

∠BEP=135.

②由DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），P點(diǎn)坐標(biāo)（0，h），由旋轉(zhuǎn)的特性，可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（-h，h-1），D點(diǎn)坐標(biāo)（h，h+3），

設(shè)CD的解析式為y=kx+b，代入CD兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得CD解析式為：，

故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，h+1），

P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，h）,

PQ的長(zhǎng)為定值為：h+1-h=1.