Question

【題目】已知:在△ABC中,BC>AC,動點D繞△ABC的頂點A逆時針旋轉,且AD=BC,連接DC.過AB,DC的中點E,F作直線,直線EF與直線AD,BC分別相交于點M,N.

(1)如圖1,當點D旋轉到BC的延長線上時,點N恰好與點F重合,取AC的中點H,連接HE,HF,根據三角形中位線定理和平行線的性質,可得∠AMF與∠ENB有何數量關系?(不需證明).

(2)當點D旋轉到圖2或圖3中的位置時,∠AMF與∠ENB有何數量關系?請分別寫出猜想,并任選一種情況證明.

Answer 1

【答案】(1)∠AMF=∠ENB；(2)∠AMF=∠ENB，∠AMF+∠ENB=180°，證明見解析.

【解析】

(1) 取AC的中點H，連接HE、HF，當點D旋轉到圖2中的位置時，由F為DC的中點，E為AB的中點，根據三角形中位線的性質得到FH∥AD，且FH=AD；HE∥BC，且HE=BC，得到∠HFE=∠AMF，∠HEF=∠ENB，HE=HF，則∠HEF=∠HFE，所以∠AMF=∠BNE；當點D旋轉到圖3中的位置時，同理可證得∠AMF=∠BNE．

(2) 與（1）相同，都需要作出兩條輔助線，兩次運用中位線定理解答．

(1)圖1:∠AMF=∠ENB.

(2)圖2:∠AMF=∠ENB;

圖3:∠AMF+∠ENB=180°.

當點D旋轉到圖2中的位置時，

證明:如圖,取AC的中點H,

連接HE,HF.

∵F是DC的中點,H是AC的中點,

∴HF∥AD,HF=AD,

∴∠AMF=∠HFE,

同理,HE∥CB,HE=CB,∴∠ENB=∠HEF.

∵AD=BC,∴HF=HE,∴∠HEF=∠HFE,

∴∠ENB=∠AMF.

當點D旋轉到圖3中的位置時，

用同樣的方法可證明∠HFE=∠AME，∠HEF=∠BNE，
而∠HFE=∠HEF，
∴∠AME=∠BNE，
而∠AMF+∠AME=180°，
∴∠AMF+∠BNE=180°．
故答案為：∠AMF=∠BNE或∠AMF+∠BNE=180°．