Question

【題目】如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB＝（　　）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

Answer 1

【答案】B

【解析】

MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可．過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點A′，使得AA′＝MN，連接A'B，則A'B與直線b的交點即為N，過N作MN⊥a于點M．則A'B為所求，利用勾股定理可求得其值．

過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點A′，使得AA′＝4，連接A′B，與直線b交于點N，過N作直線a的垂線，交直線a于點M，連接AM，過點B作BE⊥AA′，交射線AA′于點E，如圖，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．

又∵AA′＝MN＝4，∴四邊形AA′NM是平行四邊形，∴AM＝A′N．

由于AM+MN+NB要最小，且MN固定為4，所以AM+NB最小．

由兩點之間線段最短，可知AM+NB的最小值為A′B．

∵AE＝2+3+4＝9，AB，∴BE．

∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．

所以AM+NB的最小值為8．

故選B．