Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，E為AB延長線上一點，CE交⊙O于點F

（1）求證：BF平分∠DFE；

（2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）根據圓內接四邊形性質和圓周角定理求出∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，根據垂徑定理求出CH＝DH，求出BC＝BD，根據等腰三角形性質求出∠BCD＝∠CDB，求出∠EFB＝∠DFB即可；

（2）根據全等三角形的判定求出△DFB≌△EFB，根據全等三角形的性質求出BD＝BE＝5，證△DHB∽△ADB，根據相似得出比例式，代入求出即可．

（1）證明：∵C、D、B、F四點共圓，

∴∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，

∵CD⊥OA，OA過O，

∴CH＝DH，

∴BC＝BD，

∴∠BCD＝∠CDB，

∴∠EFB＝∠DFB，

∴BF平分∠DFE；

（2）解：設⊙O的半徑為R，

∵在△DFB和△EFB中 ,

∴△DFB≌△EFB（SAS），

∴BD＝BE，

∵BE＝5，

∴BD＝5，

∵AB為⊙O直徑，CD⊥AB，

∴∠ADB＝∠DHB＝90°，

∵∠DBH＝∠ABD，

∴△DHB∽△ADB，

∴，

∵AH＝，BD＝5，AB＝2R，BH＝2R﹣，

∴,

解得：R＝，R＝﹣2（舍去），

即⊙O的半徑是．